La cuadrícula infinita: de los cuadrados mágicos a los autómatas celulares

Melancolía I, de Alberto Durero.

La fascinación que muchos niños y algunos adultos sentimos ante una hoja de papel cuadriculado tiene que ver con la naturaleza misma de la realidad. Organismos compuestos por células, paredes hechas de ladrillos, suelos pavimentados con baldosas… Y, en última instancia, una materia compuesta por átomos y una información reductible a ceros y unos. Toda la complejidad del mundo físico y mental procede de la acumulación organizada de diminutos elementos simples, igual que un bloc de notas es una ordenada acumulación de celdillas cuadradas que sirven de plantilla a textos, cálculos y bocetos, expresiones gráficas del pensamiento abstracto.

Como representación esquemática de nuestro mundo celular, el papel cuadriculado nos invita a convertirlo en soporte de estructuras y escenario de procesos que, partiendo de la mayor simplicidad, pueden alcanzar grados de complejidad inimaginables, del mismo modo que la evolución, recombinando sin fin los elementos más simples, ha generado un deslumbrante catálogo de formas de vida.

Algunas de las mentes más brillantes de nuestro tiempo, como Alan Turing, John von Neumann o John Conway, construyeron poderosas herramientas lógico-matemáticas a partir de una cuadrícula, que probablemente plasmaron en una hoja de papel cuadriculado. Veamos algunos de los fascinantes productos de la «mente cuadriculada», cuando la cuadrícula no es un corsé sino una plantilla que ayuda a escribir —a pensar— «despacio y con buena letra», como aconseja Machado.

La cuadrícula acotada

El papel cuadriculado, la cuadrícula inmensa (en una hoja estándar hay unas 4000 celdillas), no hace mucho que se convirtió en un soporte gráfico de uso común (los primeros cuadernos escolares se fabricaron en los años veinte del pasado siglo); pero las cuadrículas acotadas son tan antiguas como la escritura, o tal vez más.

La cuadrícula elemental de 3×3 es la base del cuadrado mágico, conocido en China desde el III milenio a. C., en el que los números del 1 al 9 están dispuestos de forma que todas las filas, columnas y diagonales sumen lo mismo (o sea, 15, ya que los nueve primeros números suman 45).

Solo hay un cuadrado mágico de orden 3, si consideramos iguales los obtenibles por rotación o reflexión. Pero en una cuadrícula de 4×4 podemos disponer los números del 1 al 16, formando un cuadrado mágico, de 880 maneras distintas. Y el número de posibilidades aumenta vertiginosamente al aumentar el orden: hay 275 305 224 cuadrados mágicos de orden 5, y unos 18 trillones de orden 6.

De todos ellos, el más famoso es el cuadrado mágico de orden 4 que aparece en el ángulo superior derecho de la Melancolía de Durero, construido de manera que los dos números centrales de la fila inferior compongan el año de realización del grabado: 1514.

Mucho se ha especulado sobre el significado de la Melancolía, cuyo denso simbolismo Durero nunca explicó. La mayoría de los expertos coinciden en ver en el grabado una alegoría del deprimido estado de ánimo típico del pensador incapaz de pasar a la acción. Y, de hecho, en el Renacimiento se pensaba que la melancolía era la dolencia propia de los estudiosos, a los que «una pálida máscara de reflexión hace parecer enfermos», según un testimonio de la época. Pero ¿por qué un cuadrado mágico en una alegoría de la inteligencia deprimida? Seguramente, como han señalado Panofsky y otros, porque se consideraba un talismán jovial contra la sombría influencia de Saturno, el dios de la tristeza. Efectivamente, se puede identificar el cuadrado mágico de orden 4 con la Mensula Jovis dividida en 16 casillas que, grabada en una lámina de estaño, «disipa toda angustia y temor», según Marsilio Ficino, y que fue un talismán de uso frecuente durante el Renacimiento.

Pero, sin negar lo anterior, cabría aventurar otra interpretación que, aunque probablemente tenga poco que ver con su intención consciente, tal vez arroje alguna luz sobre el núcleo de las inquietudes de Durero, que en más de una ocasión manifestó su angustia ante las limitaciones del pensamiento racional. Los cuadrados mágicos, acaso mejor que ningún otro objeto aritmético, simbolizan a la vez los aspectos lúdicos y abismales de las matemáticas: tras su inocente faceta recreativa (componer un cuadrado mágico es el equivalente numérico de resolver un crucigrama), acechan sus sobrecogedoras profundidades, que apenas hemos comenzado a explorar. Juego trivial, al alcance de un niño, y a la vez ventana asomada al vértigo de una combinatoria inabarcable.

Pero la cuadrícula acotada más famosa es seguramente la de 8×8: el campo de batalla del ajedrez, las damas y otros juegos de tablero. Podría parecer que, al tener casillas de dos colores, el popular damero no es una cuadrícula «pura»; pero, en realidad, los colores alternantes de las casillas solo sirven para facilitar la visualización de las posiciones, del mismo modo que la alternancia de líneas blancas y azules en el papel pijama no tiene más objeto que el de facilitar la lectura.

Además de su función como tablero, la cuadrícula de 8×8 ha dado lugar a numerosos problemas matemáticos, relacionados o no con el juego del ajedrez. Uno de los más interesantes es el de las poligrafías, que son los itinerarios de una pieza que recorre todo el tablero visitando una y solo una vez cada casilla. La poligrafía del caballo, la más compleja, despertó el interés de matemáticos tan ilustres como Leonhard Euler, que, entre otras cosas, halló un recorrido en el que el caballo, si numeramos las casillas en el orden en que las visita, genera un cuadrado mágico de orden 8.

La cuadrícula ilimitada

Las poligrafías del rey son mucho más simples que las del caballo, pero inspiraron la creación de uno de los más fascinantes «autómatas celulares»: la hormiga de Langton. Como es bien sabido, el rey se puede mover en todas direcciones, pero solo una casilla a la vez. Si eliminamos los movimientos en diagonal y hacemos que el rey, al visitar una casilla, cambie el color de la misma y altere la dirección de su marcha, y si eliminamos los bordes del tablero para convertirlo en una cuadrícula ilimitada, tenemos una hormiga de Langton (diseñada por Cristopher Langton en 1986), cuyas evoluciones generan sorprendentes patrones recurrentes y «avenidas» infinitas.

El más conocido y estudiado de los autómatas celulares es el juego de la vida, inventado en 1970 por el gran matemático británico John Horton Conway (recientemente fallecido a causa de la COVID-19; sirvan estas líneas de modesto homenaje).

Al igual que la hormiga de Langton, el juego de la vida se desarrolla sobre una cuadrícula ilimitada en la que algunas de las casillas/células están «vivas» y otras «muertas» (las primeras marcadas en negro y las segundas en blanco, habitualmente). A partir de una determinada situación inicial, las células evolucionan automáticamente (de ahí el nombre de «autómata celular») de acuerdo con un par de reglas sencillas:

  1. Una célula muerta con exactamente 3 vecinas vivas revive.
  2. Una célula viva con 2 o 3 vecinas vivas sigue viva, de lo contrario muere (por «soledad» si tiene menos de 2 vecinas vivas o por «superpoblación» si tiene más de 3).

Hay patrones, denominados «osciladores», que tras un determinado número de pasos («generaciones») vuelven a su estado inicial, otros que permanecen invariables («vidas estáticas»), otros que reaparecen en distinto lugar («naves espaciales») como si se desplazaran por la cuadrícula…

El juego de la vida y la hormiga de Langton son, además, máquinas universales de Turing, es decir, todo lo que se puede computar algorítmicamente, se puede computar en estos autómatas celulares (pero ese es otro artículo).

El papel cuadriculado y los cuadernos en general han sido desplazados, en buena medida, por las pantallas de ordenador; pero la cuadrícula sigue viva —más viva que nunca— en ellas, puesto que todo aquello que aparece en una pantalla es, en última instancia, una tupida retícula invisible saturada de píxeles elementales que, combinados de distintas maneras, dan lugar a la inmensa variedad de textos e imágenes posibles.


Otras cien razones por las que vivir

101. El tercer movimiento del Septimino de Beethoven, en realidad titulado Septeto en mi bemol mayor Op. 20., y sus efectos en el humor de quien lo escucha. Lo que estamos insinuando es que debería oírlo mientras lee esta lista.

102. Este olor:

Fotografía: Rubén Díaz.

103. Los cuentos de Woody Allen.

104. El pasaje de El barón rampante en el que los niños se reconcilian, al principio del tercer capítulo, y Biaggio le lleva a Cosimo «dos higos secos, Mino, y un poco de pastel…». Habrá retratos de la ternura más ciertos, pero yo no los he leído.

105. Las estatuas de dos mil años que están buenas.

Hércules joven, una escultura romana c. 69-96 a.C. Fotografía cortesía de Dansshots.

106. La forma con la que J. R. R. Tolkien insinuó, pero nunca confirmó, que sus elfos tenían las orejas puntiagudas: en los idiomas élficos que inventó, le reservó el mismo lexema a las palabras «hoja» —«lassë» en quenya, «lhass» en sindarin— y «oreja» —«lár» en quenya, «lhewig» en sindarin.

107. Matt Harding.

108. Una gran cantidad de secuencias de Upside Down, una película de Juan Solanas. Por quedarnos con alguna, la del tango, la de cuando el protagonista se tira al mar o la de la persecución.

109. La posibilidad de que haya vida inteligente fuera de la Tierra. Si no es lo más emocionante que has oído nunca es que tienes horchata en las venas.

110. Louise Weber, La Goulue, bailarina de cancán. No la conocí, pero parecía una persona estupenda.

La Goulue en 1885. Fotografía: Louis Victor Paul Bacard / Musée d’Orsay (DP).

111. La niña del pompero. Otra persona estupenda.

Fotografía: Anónimo. Vía Know Your Meme.

112. Los gatos.

113. Las gran cantidad de personas más jóvenes que tú que son más inteligentes que tú.

114. Ser cuanto más vieja más pelleja.

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Liza Minnelli. Fotografía: Joella Marano (CC).

115. El talento de Picasso para la pintura realista y el hecho de que no le diese la gana ponerlo en práctica.

116. Rosa Parks.

117. La biografía de Rimbaud.

118. Darle la palabra al señor Nabo.

119. Dinotopia, de James Gurney.

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Imagen cortesía de James Gurney.

120. Las traducciones de poesía que priman la rima sobre la literalidad. Un ejemplo.

121. Latinoamérica.

122. El duelo final entre Michelle Yeoh y Ziyi Zhang en Tigre y dragón, una película de Ang Lee.

123. Los que se atreven a cantar encima de lo inmejorable. Neil Hannon sobre Yann Tiersen o David McAlmont sobre Michael Nyman, por poner dos ejemplos.

124. La vida en un hilo, una película de 1945 escrita y dirigida por Edgar Neville.

125. Lauren Bacall.

Lauren Bacall en una imagen promocional de Cayo Largo, de 1948.

126. La voz de Steve Coogan.

127. El fan art delirante.

128. Los ballets setentones.

129. Este anuncio de L’homme de Yves Saint Laurent en 2006.

130. El milagro de P. Tinto, una película de Javier Fesser.

131. El realismo mágico.

132. Esta entrevista a Bill Murray, Matt Damon, Hugh Bonneville y Paloma Faith en The Graham Norton Show.

133. Las Oréades, un cuadro de Bouguereau.

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Las Oréades, de William Bouguereau en 1902 (DP).

134. La persona que discurrió el estilo de montaje de programas como Mujeres Ricas, ¿Quién quiere casarse con mi hijo? o Perdidos en la tribu, todos de la productora Eyeworks-Cuatro Cabezas.

135. La habilidad de David Sides de embellecer todo lo que toca. Aquí un ejemplo.

136. El 25 de septiembre de 1957, cuando Eisenhower desplegó a la 101 División Aerotransportada del Ejército de Estados Unidos contra la Guardia Nacional de Arkansas, que impedía la entrada de estudiantes negros en centros educativos para blancos.

Fotografía: US Army (DP).

137. Throne Room, de John Williams, el tema final de La guerra de las galaxias.

138. El Juego de la vida diseñado por John Conway.

139. Este color:

Fotografía: Rubén Díaz.

140. Douglas Adams, Terry Pratchett, Christopher Moore, Tom Sharpe, Neil Gaiman y en fin, todos esos.

141. Miranda Hart, Catherine Tate, Jennifer Saunders, Dawn French y las humoristas británicas en general.

142. Manolito Gafotas.

143. La certeza de que Artax en realidad no murió, porque no era de verdad.

144. Sarah Bernhardt interpretando a hombres.

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Sarah Bernhardt c. 1900. Fotografía: James Lafayette (DP).

145. Eyes Wide Shut, una película de Stanley Kubrick.

146. Este vídeo:

147. La parte de la trompeta en Old Town, de Phil Lynott.

148. El humahuaqueño, de Edmundo Zaldívar.

149. El piano ortofónico de Baranov-Rossiné, Baranov-Rossiné y toda la gente que ha querido convertir la música en color.

El prototipo del piano ortofónico de Vladimir Baranov-Rossiné. Fotografía: Philippe Migeat / Centre-Pompidou / MNAM-CCI.

150. Las onomatopeyas. Besar el aire al decir «beso», caballos al trote en «quadrupedante putrem sonitu quatit ungula campum», Don McLean inventando la música al tararear «this’ll be the day that I die».

151. Los crescendos.

152. Pertenecer a uno de los pocos órdenes zoológicos en toda la historia de la biología cuyos miembros son capaces de manipular con las extremidades sus propios genitales. A lo mejor suena a gracieta, pero no lo es.

153. Las veinte entregas de Willam’s Beatdown. Y si hubiera cincuenta, las cincuenta.

154. La mamarrachaería socialmente aplaudida.

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Salvador Dalí. Fotografía: Allan Warren (CC).

155. Melvin Udell.

156. Kristen Wiig.

157. Rubén Darío

158. Lee Miller en la bañera de Hitler.

Fotografía: David E. Scherman (DP).

159. Este flash mob.

160. El segundo soliloquio de Segismundo en La vida es sueño, de Calderón de la Barca.

161. Los últimos veinte minutos de Dogville, de Lars von Trier.

162. El forastero misterioso, una novela de Mark Twain.

163. Las sinopsis de cine de Sinopsis de cine.

164. La forma en la que está contada El atlas de las nubes, de David Mitchell. La novela, no la película.

165. John Larriva en general y este cuadro suyo en particular:

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Ian Malcolm: From Chaos. Imagen cortesía de John Larriva.

166. La sonrisa de María Pagés cuando saludaba al público al final del espectáculo de Riverdance.

167. Cualquier versión mínimamente entusiasta de Ding Dong The Witch Is Dead, la canción que celebra la muerte de la Bruja del Este en El Mago de Oz.

168. La decisión de no lanzar la bomba atómica sobre Kioto durante la II Guerra Mundial si fue, como suele decirse, para evitar la destrucción de su patrimonio histórico y artístico.

169. Grandes machos con caligrafía de niña pequeña.

Una postal de Ernest Hemingway a Gertrude Stein en 1924 (DP).

170. Los fiestones de las películas de Baz Luhrmann.

171. Ficciones, de Jorge Luis Borges.

172. El plano del búho de Blade Runner.

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Imagen: The Ladd Company / Shaw Brothers / Warner Bros.

173. Esta entrevista de Joaquín Soler Serrano a Julio Cortázar. Lo mismo podríamos decir de esta a Borges.

174. Palma Fine Books, que es una librería inglesa en Palma de Mallorca. Se puede ver en este vídeo, pero no le hace justicia.

175. Participar en un rodaje, casi en cualquier rodaje.

176. El amor entre el follaje, valga la redundancia. Quien lo probó lo sabe.

177. La entrada de la Reina de Saba en Salomón, el oratorio de Händel, tocada con un arpa.

178. The Royal Tenembaums, una película de Wes Anderson.

179. Astérix y Obélix.

180. Homer Simpson cuando era Homer Simpson.

181. Plantar batalla a las leyes más elementales de la vida.

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Joan Rivers. Fotografía: Cordon Press.

182. La versión de Voglio vederti danzare de Astrud y el Col.lectiu Brossa.

183. El final de V de Vendetta, secuencia muy emocionante a la par que la única de la historia del cine en la que Natalie Portman sobra.

184. Los hombres con perfil de moneda antigua.

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Tom Hiddleston. Fotografía: Cordon Press.

185. Las mujeres felinas.

Natalie Dormer. Fotografía: Suzi Pratt (CC).

186. Lana Wachowski.

187. Tristram Shandy: A Cock And Bull Story, una película de Michael Winterbottom.

188. El duelo entre Minerva McGonagall y Severus Snape.

189. Photoshop. Sí, Photoshop.

190. La carraca lila.

Carraca Lila (cloudzilla - CC)
Fotografía: Cloudzilla (CC).

191. Simon Pegg y Nick Frost.

192. Los mambos de Pérez Prado.

193. Shoes, una canción de Reparata, y todas sus versiones.

194. El lamento por Ícaro, de Herbert James Draper.

El lamento por Ícaro, Herbert James Draper, 1898 - Tate Britain DP
El lamento por Ícaro, de Herbert James Draper, 1898. Imagen: Tate Britain (DP).

195. Sócrates.

196. Las visiones idealizadas de la realidad. Esta misma lista contribuye a casi cualquiera de ellas.

197. Prácticamente cualquier cosa pintada por Roberto Ferri.

198. El olor de los primeros minutos de una tormenta de verano.

199. La fontanería, la luz eléctrica, la calefacción, los váteres y demás comodidades domésticas. Si no le parecen una razón para vivir, no me lo diga: ya dispone de ellas.

200. La ilusión de que el futuro será mejor.